Фамилия Добрекова — женская форма от Добреков, и её разумнее всего начинать разбирать с суффикса. Модель на -еков встречается реже, чем привычные -ов и -ев, и это уже даёт первую зацепку. В русских фамилиях суффикс -ек- часто указывает на уменьшительную или ласкательную форму имени или прозвища, к которой потом добавили -ов. То есть в основе лежит не полное имя Добр, а его производная форма Добрек или Добряк.

Корень здесь — добр-, общеславянский, со значением «хороший, добрый, добросердечный». Сравните с фамилиями Добров, Добрынин, Добронравов — все они восходят к одному смысловому гнезду. Однако в случае Добрекова исходное прозвище могло быть не просто «добрый человек», а именно Добряк (человек с мягким, покладистым характером). Форма Добрек — это вариант того же прозвища, закрепившийся в говорах, где суффикс -ек- был продуктивен для образования имён (ср. Иванек, Петрек, хотя в русской традиции чаще встречается -к- без е). Возможно, это южнорусская или украинская черта: в украинском языке фамилии на -ек (-ик) более характерны.

Географически фамилия Добреков (и Добрекова) нечастотна. По данным современных телефонных справочников и баз, её носители встречаются в основном в Центральной России и Поволжье, но без ярко выраженного «гнезда». Это говорит о том, что фамилия могла возникнуть в среде однодворцев или крестьян, где прозвища давали по личным качествам, а не по ремеслу или месту жительства.

Есть и вторая, менее вероятная версия: связь с некалендарным именем Добр (как Добрыня, Добромил), но суффикс -ек- в таком случае выглядит как уменьшительное от Добр, что логично: Добрек — «маленький Добр». Однако прямых упоминаний такого имени в исторических источниках почти нет, в отличие от Добрыни. Поэтому основная гипотеза — прозвище Добряк/Добрек, данное человеку за добрый нрав.

Что касается сословной принадлежности: Добрековы не фиксируются в дворянских родословных книгах, так что, скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия. В XIX веке она могла писаться через «ять» (Добрѣков), но после реформы орфографии закрепилась современная форма.