Фамилия Домашенко — один из ярких примеров украинской модели фамилий, образованных при помощи патронимического суффикса -енко. Этот суффикс, чрезвычайно распространенный в Левобережной и Южной Украине, означает «маленький», «сын» или «потомок». Поэтому Домашенко — это буквально «сын Домаша».

В основе фамилии лежит не полное церковное имя, а его обиходная, разговорная форма — Домаш. Она представляет собой сокращение от крестильного имени Дометий (в переводе с греческого — «укротитель», «усмиритель», хотя есть и версия, восходящая к латинскому «dominus» — «господин»). В русской и украинской традиции такие сокращения (Домаш, Домаха, Доманя) были обычным делом, и со временем отчество от них закрепилось как фамилия. Таким образом, первый носитель фамилии Домашенко был, скорее всего, сыном человека по имени Домаш.

Однако существует и другая, бытовая версия, которую стоит упомянуть, хотя она менее вероятна с точки зрения строгой ономастики. Слово «домаш» в некоторых южнорусских говорах могло означать «домосед» или «тот, кто любит сидеть дома». В этом случае прозвище Домаш давали человеку оседлому, не склонному к путешествиям или отлучкам. Тогда Домашенко — это потомок такого домоседа. Эта версия привлекательна своей понятностью, но патронимический суффикс -енко всё же сильнее указывает на имя, а не на прозвище.

Географически фамилия Домашенко плотно привязана к центральным и восточным областям Украины (Полтавщина, Черкасщина, Сумщина) и к югу России, куда активно переселялись украинские крестьяне в XVIII-XIX веках. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто указывали на принадлежность барину или вотчине, фамилии на -енко были распространены в среде казачества и свободных крестьян. Это не значит, что носитель фамилии был знатного рода, но указывает на то, что его предки, скорее всего, не были крепостными в центральной России, а относились к вольным малороссийским сословиям (казакам, мещанам или государственным крестьянам).

Интересная деталь: написание «Домашенкео», которое вы указали, является редкой орфографической ошибкой или опечаткой. Каноническое написание фамилии — Домашенко (с буквой «о» на конце). В украинском языке окончание -о в фамилиях этого типа не склоняется, что часто вызывает путаницу при заполнении документов. Если вы встретили именно такой вариант, велика вероятность, что это искажение при записи, например, в паспортном столе или при переписи населения.