Фамилия Домашич — редкий пример славянской модели, где суффикс указывает не на принадлежность отцу (как -ов/-ев), а на происхождение от конкретного лица с помощью патронимического -ич. В русской традиции такие фамилии чаще встречались у поляков, белорусов и южных славян; в Великороссии форму на -ич обычно носили дворянские роды, но в простонародье она прижилась в западных регионах.

Разберём основу. Самое вероятное объяснение — Домашич восходит к имени Домаш. Это польско-белорусская народная форма канонического имени Фома (от арамейского «теома» — близнец). Выражение «Фома неверующий» закрепилось за недоверчивым слушателем, но бытовое имя Домаш такой окраски не имело — оно было обычным, нейтральным. В древнерусских источниках имя активно использовалось: у С. Веселовского упомянут Домаш Твердиславич, новгородский боярин 1229 года, и Домашко Федор, дьячок из Нижнего Новгорода (1621). Отчество от такого имени — Домашевич или, с усечением, Домашич.

Есть и вторая версия: связь со словом «дом». Если так, то прозвище Домаш могли дать человеку, который был крепким хозяином, хранителем домашнего очага, «домашним» в смысле привязанным к дому. Однако словообразовательный ряд подсказывает, что суффикс -ич обычно крепится к личному имени, а не к нарицательному существительному, поэтому версия с именем Фома (Домаш) выглядит убедительнее.

Географически фамилия Домашич тяготеет к западнорусским землям и Польше. Встречается в Беларуси, на Украине, в южных регионах России. Редкость фамилии объясняется тем, что модель на -ич в восточнославянских крестьянских фамилиях не стала массовой — её вытеснили более частотные -ов и -ин. Так что носитель фамилии Домашич может с высокой вероятностью проследить корни в регионы, где польское или белорусское влияние смешивалось с русским именословом.