Фамилия Домбровскаий — один из тех случаев, где написание говорит об истории едва ли не больше, чем корень. Ошибка в суффиксе — не опечатка, а следствие того, что фамилия долго бытовала в устной речи и лишь потом была записана на слух. Правильная литературная форма — Домбровский, и именно её вы найдёте в большинстве документов XIX–XX веков. Вариант с «иа» вместо «и» — результат смешения окончаний или небрежности писаря, который записывал фамилию так, как слышал. Такие «фонетические» версии нередки в метрических книгах и ревизских сказках, особенно в отдалённых губерниях.

Корень фамилии — польское слово «dąbrowa», то есть дубрава, дубовый лес. Суффикс -ский указывает на принадлежность к местности: Домбровский — это «тот, кто из Домбровы». Так называли человека, чьи предки жили в селе или поместье с названием Домброва — таких в Польше, Беларуси и на западе Украины десятки. В Речи Посполитой эта фамилия была распространена среди шляхты, но не как аристократический титул, а как типичная топонимическая фамилия мелкопоместных дворян. После разделов Польши многие Домбровские оказались в Российской империи, где их фамилию начали русифицировать: ударение смещалось на первый слог, а окончание иногда искажалось, как в вашем случае.

По словообразовательной модели фамилия Домбровскаий стоит в одном ряду с сотнями других на -ский: Березовский, Островский, Лесницкий. Все они отвечали на вопрос «откуда родом?». В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще давались по отцу или ремеслу, -ский указывал на географическую привязку. Поэтому ваш предок мог быть не просто человеком из дубравы, а выходцем из конкретного населённого пункта Домброва, который существовал в нескольких вариантах: Домброва-Гурнича, Домброва-Белостоцка, Домброва-Тарновска.

Социальный контекст важен: в Российской империи фамилии на -ский нередко выдавали польским дворянам, потерявшим документы о шляхетстве, или униатским священникам, перешедшим в православие. Но это не значит, что все Домбровские — потомки аристократии. Многие крестьяне и мещане получали фамилию по месту жительства или по прозвищу, связанному с дубравой. Например, в белорусских и украинских говорах «домброва» могло означать и просто густой лес, так что прозвище Домброва давали леснику или человеку, жившему у леса.

Если ищете свои корни, обратите внимание на географию: фамилия Домбровский (и её варианты) чаще всего встречается в западных областях России — Смоленской, Брянской, Псковской, а также в Беларуси и на Украине. «Домбровскаий» с двойным «и» — редкий, но не уникальный случай; он может указывать на конкретный регион, где писарь записывал фамилию с ошибкой, или на то, что предки были малограмотными и не проверяли написание. В любом случае, это не делает фамилию «неправильной» — она просто живёт в той форме, в какой её зафиксировала история.