Фамилия Домогаев звучит как отголосок старого русского быта, где за каждым прозвищем стояла живая черта человека. Её основа — не имя, не ремесло, а глагол, что встречается реже. В основе лежит слово «домогать» — в старину оно означало не только «добиваться», но и «досаждать, приставать, мучить». Человек, получивший прозвище Домогай, мог быть настойчивым до назойливости, тем, кто «домогался» своего или не давал покоя окружающим. В некоторых говорах слово имело и оттенок «выпрашивать, клянчить», что тоже могло закрепиться за носителем.

Модель образования проста: прозвище Домогай плюс типичный русский суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Домогаев). Буква «а» в корне сохраняется, ударение, скорее всего, падает на третий слог: Домога́ев. Фамилия относится к распространённому типу «отглагольных» прозвищ, таких как Булгаков (от «булгачить» — шуметь), Толмачёв (от «толмачить» — переводить) или Молчанов. Но в отличие от них, Домогаев несёт более активный, даже несколько конфликтный оттенок — это не состояние, а действие.

Регионально фамилия не привязана к одной местности, но чаще встречается в центральных и северных областях России, где бытовали соответствующие говоры. Встречаются варианты написания через «о» во втором слоге — Домогоев, но это скорее искажение от «домогать», а не отдельная ветвь. В словарях русских фамилий Домогаевых обычно не выделяют в отдельную статью — это рядовая, но не частая фамилия, что говорит о её прозвищном, а не искусственном происхождении.

Сословная принадлежность предков могла быть любой: прозвище Домогай давали и крестьянам, и посадским людям, и служилым. В писцовых книгах XVI–XVII веков можно встретить записи вроде «Ивашка Домогай, крестьянин» или «Сенька Домогаев, стрелец». Фамилия не аристократическая, но и не унизительная — скорее бытовая, меткая, из тех, что приживались за характер. Если ваш предок был Домогаевым, он, вероятно, слыл человеком упёртым и настойчивым, умеющим добиваться цели, пусть и не всегда гладкими путями.