Фамилия Драбинка — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив уменьшительно-ласкательный суффикс. В основе лежит слово «драбина» (или «драбка»). В украинском и южнорусских говорах «драбина» — это лестница, чаще всего приставная, деревянная. Соответственно, Драбинкой могли прозвать человека, который делал лестницы, торговал ими или, в переносном смысле, был долговязым, «высоким как лестница». Суффикс -к(а) в прозвищах часто указывает на ироничное или ласковое отношение: не просто «Драбина», а именно «Драбинка».

По происхождению фамилия, скорее всего, западноукраинская или белорусская. В этих регионах слово «драбина» встречается в быту гораздо чаще, чем в северной или центральной России. Если бы фамилия формировалась на великорусской территории, она бы звучала иначе: от «лестница» образовали бы Лестничкин или Лестнев. Сохранение корня «драб-» прямо указывает на диалектную среду.

В польском языке есть слово drabina с тем же значением, но фамилия Драбинка не обязательно польская. Скорее, это украинская или белорусская фамилия, которая могла попасть в официальные документы Российской империи при переписях. В XIX веке многие крестьяне получали фамилии по прозвищам, и Драбинка — типичный пример прозвищной фамилии, где человек назван по предмету, с которым его связывали окружающие.

Спорных версий здесь нет: корень прозрачный, иных значений у слова «драбинка» в славянских языках не зафиксировано. Фамилия редкая, носителей немного, и почти все они — потомки выходцев из западных губерний Российской империи. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, среди них был плотник, столяр или просто человек, которого в деревне дразнили за высокий рост.