Фамилия Дременков — отчество второго порядка, то есть «внук Дремы» (сын Дременко). В основе лежит прозвище Дрема, которое в старину давали человеку медлительному, сонливому или любителю вздремнуть. Само слово «дрема» означало легкий, неглубокий сон, состояние полусна. Человек, получивший такое прозвище, мог быть флегматичным по характеру или просто работать в ночную смену, а днем постоянно клевать носом.

Модель образования необычна. Суффикс -енко (в форме Дременко) типичен для украинской и белорусской традиции: там так образовывали уменьшительные или «младшие» имена-отчества. Затем к этой форме добавили русский суффикс -ов, и получилась фамилия Дременков — гибридная, «обрусевшая» южнорусская фамилия. Это частая история: предок носил прозвище Дрема, его сына в быту звали Дременко (Дремин сын), а внук уже записался как Дременков.

Если бы фамилия осталась в чисто украинской среде, мы бы имели Дременко или Дрема. Наличие конечного -ов указывает на то, что носители фамилии жили на территории, где смешивались украинская и великорусская традиции: например, в Слобожанщине, на Курщине или в Воронежской губернии. Иногда фамилию путают с Дремков (от «дремка» — дрёма), но Дременков — самостоятельная ветвь, с более сложной словообразовательной цепочкой.