Фамилия Дременковы — отчество второго порядка. Это значит, что её основа — не имя и не прозвище напрямую, а уменьшительная форма от них. Цепочка выглядит так: был человек с прозвищем Дрёма (или Дрема), его сына в быту называли Дременко (как «сын Дрёмы»), а уже внук пошёл как Дременков — то есть «внук Дрёмы». Суффикс -енко, как правило, ведёт на юго-запад: он характерен для украинских и белорусских земель. В русских фамилиях та же роль чаще доставалась суффиксам -ич или -ов, так что Дременковы — это, скорее всего, след миграции или смешения говоров.

Прозвище Дрёма — из старинного слова «дрема», то есть лёгкий, неглубокий сон, полусонное состояние. За таким прозвищем мог стоять человек медлительный, задумчивый, словно бы всё время «дремлющий». Но необязательно с оттенком лени: в крестьянском быту «дремотой» называли и определённое растение, и даже сорт яблок, так что возможна и связь с каким-то местным диалектным значением.

Сама фамилия нечастотна. В современных базах данных она встречается точечно, без явного сгущения в одном регионе — что подтверждает её давнее, но не массовое бытование. О точной дате возникновения говорить трудно: фамилии такого типа оформлялись в основном в XVI–XVII веках, но процесс растянулся на столетия.

В написании стоит обратить внимание на гласную в корне: Дременковы, а не Дрёмовы или Дремовы. Форма на -енко удержала «е», хотя в прозвище-основе могла быть «ё». Это обычное для старых документов колебание: в письменных источниках «ё» часто заменяли на «е», и фамилия закрепилась именно в таком виде.