Фамилия Дремицкая — женская форма фамилии Дремицкий, и её основа почти наверняка связана не с «дрёмой» (сонливостью), а с географическим названием. Модель на -ский/-цкий указывает на дворянское или польское происхождение: такие фамилии образовывали от названий поместий, сёл или местечек. В русском языке суффикс -цкий — вариант -ский после корня на -ец или при стяжении: Дремицкий — это «дремецкий», то есть «выходец из Дремец» или «владелец Дремец».

Где искать ту самую «Дремецу»? Самый вероятный кандидат — село Дремец или урочище с похожим названием. В исторических документах встречается, например, Дремец в бывшей Могилёвской губернии (ныне Беларусь) или Дремецк в Черниговской земле. Топоним мог произойти от слова «дрема» в значении «сонное, тихое место» — болотистая низина, глухой лес, где всё будто дремлет. Либо от балтийского корня, означающего «глухой, тёмный» — на западных территориях России и Беларуси такие названия не редкость.

Вторая версия, менее убедительная, — связь с прозвищем Дрема. В старину «дремой» называли медлительного, сонного человека. Но прозвища редко давали фамилии на -ский: этот суффигард типичен для знати и духовенства, а не для крестьян с бытовыми прозвищами. Поэтому географическая версия выглядит предпочтительнее.

Особенность фамилии Дремицкая в том, что она почти не встречается за пределами бывших западных губерний Российской империи. В современных российских справочниках она редка, а в Польше или Беларуси могла сохраниться в форме Drzemicki (с буквой «з»). Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они происходили из мелкопоместной шляхты или духовного сословия — именно эти группы чаще всего брали фамилии по названиям имений. Крестьяне в тех краях до XIX века фамилий на -ский почти не имели.