Фамилия Дремлюга — звонкая, с южнославянским или украинским оттенком, судя по суффиксу -юга. В русском языке такой суффикс обычно придаёт слову увеличительное или пренебрежительное значение (как в «зверюга», «ветрюга»), так что прозвище Дремлюга, скорее всего, было не нейтральным, а образным — так могли окликнуть человека за его манеру поведения или внешность.

Что стояло за этим прозвищем — вопрос, на который у ономастики есть как минимум два ответа. Первый лежит на поверхности: дремлюга — тот, кто любит подремать, соня, человек с вечно сонным видом. В старину «дрема» означала лёгкий, поверхностный сон или состояние полудрёмы. Прозвище могли дать медлительному, флегматичному человеку — не обязательно ленивому, но постоянно выглядящему так, будто только что проснулся.

Вторая версия — зоологическая. Дремлюгой в народе называют ночную птицу из семейства козодоевых: серо-бурую, с пёстрыми чёрными пятнами, маленьким клювом и огромным разрезом рта. Птица эта ведёт скрытный образ жизни, днём замирает на ветке, сливаясь с корой, и кажется сонной. Если основатель рода внешне напоминал её — может, был сутул, широкорот или носил одежду неброских, «камуфляжных» тонов, — прозвище Дремлюга могло закрепиться за ним по сходству.

Интересно, что в украинском языке «дрімлюга» — это именно козодой, и фамилия Дремлюга встречается в основном на западе и юге современной Украины, а также в прилегающих областях России. Это косвенно подтверждает: корни фамилии — в говорах, где слово «дремлюга» было обиходным, а не книжным.

Какую из двух версий считать основной — решать по семейному преданию. Обе правдоподобны, и обе дают портрет предка: либо сонного увальня, либо человека с характерной внешностью, за которую его прозвали птичьим именем.