Фамилия Дремлюкова звучит как прилагательное, но по происхождению это типичная русская «женская» форма от фамилии Дремлюков. То есть, если вы женщина, ваша фамилия — Дремлюкова, а если мужчина — Дремлюков. Сама основа фамилии восходит к прозвищу или мирскому имени Дремлюк.

Корень здесь — «дрем-», связанный с глаголом «дремать», то есть находиться в полусне, клевать носом. Суффикс «-юк» в русских и украинских фамилиях часто указывает на принадлежность к чему-то или на обладание качеством: Дремлюк — это человек, который часто дремлет, соня, или же тот, кто любит вздремнуть после обеда. В старой деревне такие прозвища давали не в обиду, а как меткую бытовую характеристику — например, медлительному или флегматичному человеку. Вторая версия, менее вероятная, но возможная: прозвище могло быть связано с диалектным словом «дремлюга» — так в некоторых говорах называли тихое, сонное место или даже вид растения (например, дрема — род гвоздичных). Но в основе почти наверняка лежит именно прозвище по характеру.

Фамилия Дремлюков (и её женская форма Дремлюкова) встречается преимущественно в южнорусских и украинских регионах, а также среди казачества. Суффикс «-юк» характерен для западнорусских и малороссийских земель, что отличает её от более северных вариантов вроде Дремов или Дремовцев. По переписям XIX века носители фамилии фиксировались в Воронежской, Курской губерниях и на Кубани. Это значит, что предки Дремлюковых, скорее всего, были крестьянами или казаками — прозвище закрепилось как фамильное в среде, где люди жили общинами и хорошо знали друг друга.

Интересная деталь: в старых документах фамилию могли записать как Дремлюковъ — с твёрдым знаком на конце. А в некоторых говорах ударение падает на второй слог: Дремлю́ков, хотя современная литературная норма допускает и ударение на первый. Если вы встретите вариант Дремлюк — это та же основа, но без фамильного суффикса «-ов», то есть исходное прозвище, которое так и осталось фамилией (такое часто бывает у украинцев и белорусов). Так что ваша фамилия — не про сон в прямом смысле, а про живую народную наблюдательность, которая превратила бытовую черту в родовое имя.