Фамилия Дремлюгова — женская форма от Дремлюгов, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ов/-ев типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или мирских имён, но в основе здесь не очевидное «дремать», а более редкое диалектное слово.

Корень «дрем-» в русских говорах имел несколько значений. Помимо общеизвестного «дремать», в северных и сибирских диалектах «дремлюга» или «дрёмлюга» — это не просто сонливый человек, а тот, кто ходит медленно, вяло, «дремлет на ходу». В ономастике встречается версия, что прозвище Дремлюга давали флегматичному, неторопливому человеку. Но есть и другая, более конкретная гипотеза: в некоторых областях так называли человека, который постоянно клевал носом во время работы или собрания, — насмешливое, но не злое прозвище.

Словообразовательная цепочка проста: прозвище Дремлюга (с суффиксом -юг-, который придаёт оттенок пренебрежения или уменьшительности, как в «зверюга», «ворюга») → Дремлюгов (сын Дремлюги, то есть «чей?») → Дремлюгова. Фамилия фиксируется в двух основных ареалах: на юге России (Курская, Воронежская области) и на Урале, что говорит о расселении носителей прозвища в ходе освоения новых земель.

Спорных версий, которые стоило бы разбирать, здесь нет — связь с «дремать» очевидна, а попытки вывести фамилию от тюркского «дрем» (покой) выглядят натяжкой, поскольку русская модель на -юга для заимствованных основ нехарактерна. Таким образом, предок носительницы фамилии был, скорее всего, человеком, которого в округе дразнили за медлительность или сонливость — прозвище пережило века и превратилось в фамилию, не потеряв своей бытовой основы.