Фамилия Дробашев — один из тех случаев, когда корень слова говорит о занятии предка куда громче, чем суффикс. Основа здесь — «дробаш», а это почти наверняка вариант слова «дробош». В русских говорах дробошом называли того, кто дробит, толчёт что-то, или же орудие для этого — пест, молоток. Но главное значение лежит на поверхности: это человек, занятый дроблением. Чаще всего речь шла о ремесле: дробольщик на мельнице, толокняный мастер или, что ещё вероятнее, рабочий на рудном деле, где руду дробили вручную.

Суффикс -ев указывает на стандартную патронимическую модель: Дробашев — сын Дробаша. Такое прозвище, Дробаш, могли дать не только по профессии, но и по внешности или характеру — например, коренастому, плотному человеку, «сбитому», как говорят в народе, или же тому, кто говорил отрывисто, «дробно». В любом случае, прозвище звучало грубовато и конкретно, без намёка на дворянскую изысканность.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским землям, где «дробить» в значении «мельчить, толочь» было в ходу. Встречается она и на Дону, и в бывших казачьих областях — возможно, у выходцев из ремесленных или крестьянских сословий, которые получали прозвище по делу, а не по отцу. В этом смысле Дробашев стоит в одном ряду с Толкачёвым, Мельниковым или Круподеровым — все они «говорящие» фамилии, в которых зашифрована работа руками.

Интересно, что ударение в фамилии может плавать: чаще говорят Дроба́шев, но в некоторых регионах — Дробашёв. Второй вариант, с «ё», мог бы указывать на связь с «дробашом» как инструментом, но в письменных источниках XIX века обычно фиксировали «е». Спор о написании — скорее вопрос местного произношения, чем разный смысл.

Если копать глубже, то у фамилии есть редкая параллель: Дробашев может быть родственен не только «дроби», но и слову «дробь» в охотничьем значении. Тогда прозвище мог получить стрелок, охотник, который сыпал дробь. Но это уже гипотеза без твёрдой опоры — ремесленная версия выглядит убедительнее и проще.