Фамилия Дробашко — яркий пример восточнославянской фамилии, образованной от прозвища. Её основа, «Дробаш», почти наверняка связана с глаголом «дробить». В диалектах слово «дробаш» или «дробуш» могло означать человека мелкого телосложения, суетливого или того, кто занимался дроблением чего-либо — зерна, камня, руды. В украинском и белорусском языках «дробаш» — это ещё и «мелкий дождь», «изморось», что тоже могло стать метким прозвищем для невысокого или хлипкого человека.

Суффикс «-ко» — один из самых характерных для украинских фамилий. Он выполняет уменьшительно-ласкательную или патронимическую функцию, то есть буквально означает «сын Дробаша» или просто «маленький Дробаш». Такая модель (основа прозвища + -ко) типична для Поднепровья, Полтавщины, Черкасщины и западных областей Украины. В России фамилии на «-ко» чаще всего встречаются в регионах, граничащих с Украиной — в Курской, Белгородской, Воронежской областях, куда они попали с переселенцами.

Интересно, что фамилия Дробашко редкая и не имеет массового распространения, как, скажем, Дробот или Дробов. Это говорит о том, что прозвище Дробаш, скорее всего, было локальным, деревенским, а не общерусским. В академических источниках, вроде словаря украинских фамилий Ю. К. Редько, эта модель описывается как типично украинская, но конкретное упоминание «Дробашко» встречается редко — фамилия осталась в тени более частых однокоренных вариантов.

Версия о происхождении от тюркского корня (например, от «дроба» — вид пшена) маловероятна: фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов и бытует исключительно в славянской среде. Таким образом, предок носителя фамилии Дробашко — скорее всего, простой человек из украинского или южнорусского села, получивший прозвище за внешность или род занятий, связанных с дроблением.