Фамилия Дробышевкий — один из тех случаев, когда написание может сбить с толку. Дело в том, что в русском языке гораздо чаще встречается вариант «Дробышевский» (с суффиксом -ск-), а форма без одной буквы «с» — либо результат давней ошибки в документах, либо редкая диалектная особенность. Но если отбросить орфографию, корень у обеих фамилий один и тот же.

Основа — прозвище или имя Дробыш. В старину «дробышом» называли человека невысокого роста, плотного, коренастого («дробный» — мелкий, короткий). В некоторых говорах слово имело иное значение: так могли прозвать того, кто часто и мелко стучит, например, сапожника или плотника. Встречается и версия, что Дробыш — это производная форма от крестильного имени Андроник или Дорофей, но это менее вероятно: прозвищное происхождение для таких фамилий типичнее.

Суффикс -евк-ий (в стандартном варианте -евск-ий) указывает на принадлежность к роду: Дробышевкий — буквально «сын Дробыша» или «из семьи Дробыша». Такие фамилии обычно носили люди, которые происходили из одного села или двора, где жил их предок по прозвищу Дробыш, или же сами были детьми этого человека. В отличие от фамилий на -ов/-ин, модель на -ский чаще встречалась у выходцев из западнорусских земель, в том числе из Беларуси и Украины, где фамилии на -ский были особенно распространены среди крестьян и мещан.

Географически «Дробышевкие» (как и «Дробышевские») тяготеют к юго-западу России и востоку Украины. В дореволюционных переписях такие фамилии фиксировались в Курской, Харьковской, Полтавской губерниях. Если ваш предок носил именно «Дробышевкий» (без «с»), скорее всего, это поздняя канцелярская запись: писарь на слух записал фамилию короче, чем она звучала в народе. В быту её могли произносить и с «с», и без него.

Таким образом, Дробышевкий — это фамилия-прозвище, указывающая на внешность или занятие предка. Она не говорит о дворянском происхождении, а скорее о крестьянских или мещанских корнях из чернозёмной полосы. Искать её историю стоит в документах с поправкой на возможные варианты написания: Дробышевский, Дробыш, а иногда и Дробишевский.