Фамилия Дроженков образована от прозвища или нецерковного имени Дроженко, а то, в свою очередь, — от глагола «дрожать». Казалось бы, всё лежит на поверхности: предок был робким, боязливым человеком. Однако в русских говорах у слова «дрожать» было и другое, более конкретное значение — «зябнуть, мёрзнуть». Прозвище Дроженко могли дать не трусу, а человеку, который постоянно кутался в одежду, мёрз даже в тепле, или тому, кто работал на холоде — например, зимой на обозе или на речном льду.

Разбираем словообразовательную цепочку. Основа — «дрож-» (от «дрожать»). Суффикс «-енк-» в восточнославянских фамилиях — уменьшительно-уничижительный, он же характерен для украинских и белорусских прозвищ (сравните: Коваленко, Бондаренко). Фамилия Дроженков — это уже русифицированная форма: к украинскому прозвищу Дроженко добавили типичный русский патронимический суффикс «-ов». Таким образом, Дроженков буквально означает «сын Дроженко» или «потомок того, кого звали Дроженко». Такая модель (украинская основа + русский суффикс) часто встречается в приграничных районах: на Смоленщине, Брянщине, в Курской и Белгородской губерниях.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) прямо указывается, что фамилии на «-енков» — это типичный результат «обрусения» украинских фамилий на «-енко». География бытования фамилии Дроженков это подтверждает: чаще всего она встречается в западных и юго-западных областях России, а также на востоке Украины. Редкий суффикс «-енков» (в отличие от массовых «-ов» и «-ев») сразу выдаёт миграцию предков: ваш род, скорее всего, вышел из малороссийских земель и осел в великорусской среде, где фамилию «подогнали» под местный стандарт.

Спорных версий у фамилии практически нет. Можно было бы предположить связь с диалектным словом «дрожня» (дрожь, лихорадка), но это лишь частный случай того же корня. Версия о происхождении от названия насекомого «дрожняк» (комар-звонец) выглядит натянутой и не подтверждается ономастической традицией. Самое правдоподобное объяснение — прозвище по физической особенности (зябкость) или по поведению (робость), которое закрепилось за родом.