Фамилия Другашов — из числа тех, где версия, лежащая на поверхности, не обязательно самая верная. На слух она просится в один ряд с «другом», но в русской ономастике связь «друг — дружить» здесь не прямая, а через уменьшительно-пренебрежительную форму.

Словообразовательная модель прозрачна: основа «Другаш» плюс типичный русский патронимический суффикс -ов, означающий «сын Другаша» или «из рода Другаша». А вот что такое сам «Другаш»? Скорее всего, это некалендарное прозвище, образованное от слова «друг» с помощью суффикса -аш. В древнерусском языке такие суффиксы придавали именам оттенок ласкательности или, наоборот, фамильярности: ср. Иваш (от Иван), Петраш (от Пётр), Митяш (от Дмитрий). Соответственно, Другаш — это «дружок», «приятель» в сниженном, бытовом смысле. Прозвище могли дать человеку общительному, компанейскому или, напротив, тому, кто постоянно называл других «другашами».

Есть и альтернативная, хотя и менее вероятная, версия. В южнорусских и украинских говорах слово «другаш» могло означать товарища в походе или попутчика. В таком случае фамилия закрепилась бы за человеком, который постоянно с кем-то ходил в дорогу, возможно, за возчиком или купцом.

Географически фамилия Другашов тяготеет к центральным и южным регионам России, но не является массовой. Она редкая, что говорит о её локальном происхождении: скорее всего, в каком-то одном селе или волости жил человек по прозвищу Другаш, и его потомки разнесли фамилию по окрестностям.

Стоит обратить внимание на суффикс -аш. В русских фамилиях он встречается нечасто, в отличие от украинских (Галка — Галаш, Борода — Бородаш). Это позволяет предположить, что основа фамилии могла прийти из украинской или белорусской языковой среды, а окончание -ов «обрусело» при попадании в великорусские земли. Социальный статус первых Другашовых, судя по прозвищу, был крестьянским или посадским — дворянские роды с таким корнем в истории не зафиксированы.