Фамилия Друженькова — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не просто указывало на характер, а скорее на отношение окружающих. Её разберём не с корня, а с суффикса, потому что именно он подсказывает социальный статус предка.

Суффикс -енк- в основе — уменьшительно-ласкательный, характерный для украинской и южнорусской ономастики. В фамилиях на -ов он означает, что прозвище Друженя (или Друженька) дали человеку, которого называли «маленьким другом», «дружочком». Это не был официальный друг или побратим — скорее, ласковое обращение к младшему, любимому, беззлобному члену общины. В отличие от фамилий Дружков или Дружинин, где корень «друг» означает товарища по делу или ратному походу, Друженьковы — потомки того, кого за добрый нрав прозвали уменьшительно: Друженя, Друженька.

Встречается фамилия преимущественно в центральных и южных областях России, с заметным скоплением в Тульской и Орловской губерниях — там, где украинское влияние смешивалось с великорусскими говорами. Первые письменные фиксации (по данным «Ономастикона» С. Б. Веселовского) относятся к XVII веку, но в форме Друженя — как личное прозвище. Тогда это было не фамилией, а уличным именем. Окончание -кова указывает на женскую линию или на то, что фамилия закрепилась через жену: Друженькова — жена Друженькова.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от слова «друженька» как ироничного обращения к человеку, который слишком навязчиво лез в друзья. В русских говорах «дружиться» означало не только «дружить», но и «свататься», «заискивать». Однако ласкательный суффикс -еньк- в таком контексте звучит неестественно грубо, поэтому версия с добрым прозвищем надёжнее. Сословно фамилия почти наверняка крестьянская или однодворческая — дворяне с таким суффиксом не образовывали фамилий.

Коротко: Друженьковы — это потомки «маленького друга», человека, которого в деревне звали ласково, по-свойски. Фамилия редкая, но прозрачная по смыслу.