Фамилия Дрягуев — один из тех случаев, когда звучание обманчиво, а корень уходит в диалектную лексику северных и центральных областей России. Вопреки первому впечатлению, она не связана с глаголом «дрягать» (дрыгать ногами) или чем-то небрежным. Основа здесь — «дряг-», вариант слова «дряга» или «дрягва», которое в старых говорах означало топкое, зыбкое место, болото, трясину. Человек, получивший прозвище Дряга или Дрягуй, скорее всего, жил у такой трясины или происходил из местности, где это слово было в ходу.

Образована фамилия по типичной для русских фамилий модели: к основе на -ай/-уй добавили патронимический суффикс -ев. Если бы основа звучала как Дряга, мы бы получили Дрягин, но форма Дрягуй даёт Дрягуев. Важно, что суффикс -уй в прозвищах (сравните: Ветруй, Гнилуй, Косой) часто встречался на Русском Севере и в Вятке, и это — географическая зацепка. Вероятная родина фамилии — Архангельская, Вологодская или Кировская область, где диалектная лексика сохранилась лучше, чем в центральных губерниях.

Есть и более редкая версия, которую стоит упомянуть из осторожности: в некоторых говорах «дрягой» называли худого, долговязого человека. Однако связь с болотистой местностью надёжнее подтверждается словообразовательными параллелями (сравните фамилии Болотов, Трясин, Мочалов, Клюев). Прозвище по месту жительства — один из самых распространённых и естественных путей возникновения русских фамилий, особенно у крестьянства, которое массово обретало фамилии в XIX веке.

В дореволюционных записях фамилия встречается нечасто, что подтверждает её узколокальный характер. В современной России Дрягуевы рассеяны, но наибольшая концентрация по-прежнему заметна в северных регионах и в Сибири, куда в XIX–XX веках переселялись крестьяне из тех же мест. Сословно фамилия, скорее всего, крестьянская или однодворческая, без дворянских корней. В написании устойчива, вариантов вроде Дрягиев или Дрягуев с ударением на первый слог не зафиксировано.