Фамилия Елинсий — редкий случай, когда написание почти наверняка содержит ошибку. Наиболее вероятно, что перед нами искажённая форма фамилии Елинский, а не самостоятельное образование. В русской ономастике суффикс -ий (-ый) в фамилиях встречается, но обычно в сочетании с -ск- (как в «Толстой» или «Четвёртый»), а вот окончание -сий для фамилий на -ский нетипично. Скорее всего, при записи фамилии в документе произошла опечатка или диалектное упрощение: «Елинский» превратилось в «Елинсий» из-за нечёткого произношения или ошибки писаря.

Если же исходить из того, что фамилия всё-таки имеет право на существование в таком виде, её основа прозрачна: корень «Ел-» восходит к имени Елисей или к его краткой форме Еля. Елисей — древнееврейское имя, означающее «Бог — спасение». В народной среде имя было популярно, и от него образовалось множество фамилий: Елисеев, Елин, Елькин. Суффикс -ин- в фамилии Елинсий (если считать его частью основы) указывает на принадлежность: «чей?» — Елин, то есть сын или потомок Ели. А вот финаль -сий — это уже аномалия, которая не вписывается в стандартные модели русских фамилий.

Географически фамилия Елинсий (или Елинский) могла закрепиться на западе России, в Беларуси или на Украине, где фамилии на -ский особенно распространены и часто образовывались от названий деревень. Например, село Елино или Елинск давало прозвище переселенцу: «он из Елина» — отсюда Елинский. В таком случае фамилия указывала не на имя предка, а на место его рождения или проживания.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает прояснить картину. Елисеев — самая прямая и частая фамилия от имени Елисей. Елин — более редкая, но тоже понятная. Елинский — вариант, который мог возникнуть и от имени, и от топонима. А вот Елинсий — скорее всего, единичный случай, порождённый канцелярской ошибкой. Если вы встретили такую фамилию у предка, стоит проверить архивные записи: в метрических книгах или ревизских сказках она могла писаться как Елинский, а при переписи XX века «съехала» буква.