Фамилия Ельшин образована от мирского имени Ельша. Такие имена были распространены на Руси до введения обязательных фамилий и часто заменяли крестильные в быту. Имя Ельша — уменьшительная форма от христианских имен Елизар, Елисей или Елистрат. Такой способ сокращения (усечение основы с добавлением суффикса -ша) типичен для русской народной традиции: вспомните Гриша от Григорий или Паша от Павел.

Но есть и вторая, не менее интересная версия. Ельша могло быть не именем, а прозвищем. В этом случае его связывают с диалектными глаголами «елесить» и «елешить». В разных говорах они означали льстить, угодничать, хитрить или же суетиться, делать что-то неловко. Прозвище Ельша могли дать человеку с соответствующим характером или манерой поведения. Выбрать между двумя версиями сложно: обе лингвистически возможны. Имя-основа встречается в старых документах, что говорит в пользу первой гипотезы, но прозвищный корень объясняет необычное звучание фамилии.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Ельшин буквально означает «сын Ельши» или «человек из рода Ельши». Это стандартная модель русских фамилий от слов мужского рода, оканчивающихся на -а/-я (ср. Пушкин, Ильин). Фамилия редкая, её географическое распространение неширокое, что типично для фамилий, образованных от локальных прозвищ или уменьшительных форм.