Фамилия Евсега — один из тех редких случаев, когда на первый план выходит не корень, а суффикс. В русской ономастике окончание -га почти всегда указывает на прозвище, образованное от глагола или имени с помощью экспрессивного, уменьшительно-пренебрежительного форманта. Сравните: Серяга, Бродяга, Рвач. Здесь основа, скорее всего, восходит к имени Евсей (церковное Евсевий, от греческого «благочестивый»). Полное имя Евсей давало фамилии Евсеев, Евсюков, а вот форма Евсега — это усечённая, «огрублённая» версия, которую в быту могли дать человеку по имени Евсей, но с оттенком фамильярности или, наоборот, ласки.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России, особенно к бывшим новгородским землям, где такие «стянутые» прозвища были в ходу. В переписных книгах XVI–XVII веков можно встретить крестьян с прозвищами вроде Евсега, Евсюга — это не официальное имя, а уличное, деревенское. Позже, при закреплении фамилий, такое прозвище и стало родовым. Носитель фамилии Евсега, скорее всего, потомок крестьянина или ремесленника, которого в округе знали не по полному имени, а по этой короткой, цепкой форме.

Интересно, что суффикс -га в русских фамилиях встречается редко и почти всегда несёт отпечаток простонародной, диалектной речи. В отличие от книжных фамилий на -ский или дворянских на -ов, Евсега — фамилия «низовая», живая, она сохранила звучание устного обихода. Если ваши предки носили её, они, скорее всего, жили в среде, где прозвище было важнее паспортного имени, и эта фамилия — прямое свидетельство той эпохи, когда человека называли не по отцу, а по тому, как его окликали на улице.