Фамилия Евтушек образована от имени Евтуша — народной, обиходной формы канонического имени Евтихий. Это имя пришло на Русь из греческого языка: Εὐτύχιος (Евтихий) означает «счастливый», «удачливый», «успешный». В быту полное имя сокращали и переделывали на свой лад: из Евтихия получился Евтуша — так было удобнее произносить и привычнее для уха.

Словообразовательная модель здесь простая и прозрачная. К основе Евтуш- добавили суффикс -ек, который в русских фамилиях уменьшительный и патронимический. В безударном положении он дал написание Евтушек. Такую фамилию стоит понимать как «сын Евтуши» или «потомок Евтуши». По происхождению это типичная фамилия-полуотчество: её давали не по отцу напрямую, а по домашнему, внутрисемейному прозвищу.

Стоит отметить, что суффикс -ек в фамилиях встречается реже, чем привычные -ов или -ин. Он характерен для украинской и белорусской традиции, где такие формы — уменьшительно-ласкательные — могли закрепляться как фамилии. В русских говорах подобный суффикс тоже встречается, но реже. Поэтому географически фамилия Евтушек скорее тяготеет к западнорусским землям, к Украине и Белоруссии, хотя сейчас носители разбросаны по всей стране.

Редкость фамилии ещё и в том, что имя Евтихий в народе давало много вариантов: Евтух, Евтюх, Евтюша, Евтушок. Евтушек — один из самых коротких и лаконичных. В ономастических справочниках эта фамилия не упоминается как массовая, что говорит о её локальном бытовании, возможно, в пределах одной или нескольких деревень.

Таким образом, если ваша фамилия Евтушек, ваши предки по мужской линии носили имя Евтихий, а в быту их звали Евтушей. Фамилия закрепилась за потомками как память об этом человеке — счастливом или удачливом, как переводится его имя.