Фамилия Фарбеев — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Если отбросить самые поверхностные догадки, сразу видно, что это не «Фарфоров» и не «Фартуков»: корень здесь тёмный, а суффикс — стандартный -ев, указывающий на «сына» или «потомка» человека, которого звали Фарбей.

Вероятнее всего, Фарбей — это прозвище, и его истоки стоит искать в диалектах или заимствованиях. Прямого славянского слова «фарбей» не существует. Напрашивается связь с немецким Farbe — «цвет, краска». В России XVIII–XIX веков, особенно в Поволжье и на юге, было немало немецких колонистов, а также ремесленников-красильщиков. Прозвище Фарбей мог получить либо человек, работавший с красками (маляр, красильщик тканей), либо, в переносном смысле, кто-то яркий, заметный, «цветной» — возможно, из-за пёстрой одежды или характера.

Другая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование, — искажённая форма от тюркского имени или прозвища. В татарском и башкирском языках есть корень «фар» (фарс) — «слава, хвала», но сочетание с «бей» (господин) дало бы скорее «Фарбек». Фарбеев же звучит как русифицированное окончание от более простой основы.

Географически фамилия встречается очень локально, в основном на юге России и в Западной Сибири, куда в XIX веке переселялись крестьяне из малоземельных губерний. Это типичная «ремесленная» фамилия, которая закрепилась за одним родом. По сословной принадлежности предки Фарбеевых скорее всего были государственными или экономическими крестьянами, а не дворянами — прозвища, связанные с профессией, в дворянской среде встречались редко.

Написание фамилии устойчивое, с двумя буквами «е» в суффиксе. Вариант «Фарбиев» или «Фарбьев» — результат ошибок в документах или местного произношения, но основная форма именно Фарбеев. Если ваш предок носил это прозвище, он, скорее всего, был мастеровым человеком, которого в деревне знали как «красильщика Фарбея» — отсюда и пошла вся фамилия.