Фамилия Фассалов — редкий случай, когда тюркская основа сочетается с русским патронимическим суффиксом, но не напрямую, а через греческое или итальянское посредничество. Самая вероятная версия: в основе лежит прозвище или имя Фассал, которое восходит к греческому φάσσα (phassa) — «голубь». В греческой ономастике это слово давало имена вроде Фассас, Фассалос, а на юге России, в среде греков Приазовья и понтийских переселенцев, легко превращалось в фамилию с русским окончанием -ов. Иными словами, Фассалов — это «сын Фассала», а сам Фассал, скорее всего, человек, которого прозвали Голубем — за мирный нрав, внешность или профессию (голубятник, почтарь).

Есть и вторая, менее очевидная линия: от итальянского fassale — «вязанка, связка» или fassallo — «пучок». В итальянских диалектах юга (Сицилия, Калабрия) слово fassalu означало «пучок соломы» или «сноп». Если допустить, что предок Фассаловых был итальянцем, переселившимся в Россию в XVIII–XIX веках (например, архитектор или ремесленник), то прозвище могло относиться к его занятию — связыванию снопов, торговле соломой. Но эта версия слабее: массовых итальянских миграций в русские губернии не было, а единичные случаи редко давали фамилии с типично русским суффиксальным оформлением.

Суффикс -ов указывает на то, что фамилия сложилась в русской языковой среде, вероятно, не позже XVIII века. Встречается она в основном на юге России и в Поволжье — там, где оседали греки и турки, а также в казачьих областях. В дореволюционных метрических книгах фамилия фиксировалась в Таврической губернии (греческие села под Мариуполем) и в Ставрополье. Могла также возникнуть среди тюркских народов: у татар и башкир встречается имя Фассал (от араб. فضل — «достоинство, превосходство»), которое при русификации давало Фассалов, но это уже другой корень, не связанный с голубем.

Таким образом, если ваш предок носил фамилию Фассалов, он с высокой вероятностью происходил из греческой общины Причерноморья, а его родовое прозвище было связано с голубем. Альтернативный путь — тюркское имя с арабской основой, но тогда фамилия должна была писаться чаще через двойное «с» и с ударением на второй слог.