Фамилия Федюнькин образована от просторечной формы Федюнька, которая восходит к древнегреческим именам Феодул («раб богов») либо Феодор («подаренный богом»). В XVI–XVII веках имя Феодор, в народной форме Фёдор, занимало третье место по частоте употребления после Ивана и Василия, поэтому неудивительно, что от его многочисленных уменьшительных вариантов возникло целое гнездо фамилий.

Суффикс -кин указывает на принадлежность: Федюнькин буквально значит «сын Федюньки». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от имён с конечным мягким согласным или с суффиксом -к(а): если основа оканчивается на -а, к ней присоединяют -ин, а не -ов. Здесь же мы видим сочетание уменьшительного суффикса -юн(ь)- и патронимического -ин, что делает форму более редкой по сравнению с привычными Федоров или Федин.

Само имя Федюнька — ласкательный вариант, характерный для северных и центральных говоров, где любили наращивать основу перед уменьшительным суффиксом. Подобные формы встречались в писцовых книгах и челобитных XVII века: так могли звать крестьянина, посадского человека или служилого, а его дети уже писались Федюнькины. В отличие от фамилий знати, эта не фиксировала сословие — её носили в основном крестьяне и мещане, что подтверждается позднейшими переписями.

Отдельно стоит сказать о возможной путанице с фамилией Федюкин. Обе образованы от одного имени, но Федюкин проще по структуре (без промежуточного -нь-), тогда как Федюнькин сохранил более архаичный и разговорный вариант прозвища. В современных справочниках фамилия встречается реже, чем её аналоги, и чаще локализуется в Поволжье и на Урале — регионах, куда в XVIII–XIX веках переселялись крестьяне из центральной России.

Если ваш предок носил фамилию Федюнькин, он почти наверняка происходил из крестьянской или мещанской среды, а его родоначальника звали Федюнькой — так в быту могли называть и взрослого Фёдора, и Феодула. Различить, какое именно имя легло в основу, по фамилии невозможно: обе формы в народной речи слились в одну.