Фамилия Финакин — одна из тех, где сразу бросается в глаза суффикс -ин. В русской модели фамилий этот суффикс указывает на принадлежность: «чей?» — Финакин, то есть сын (или потомок) человека по имени или прозвищу Финака. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от названий профессий или мирских имён с твёрдой основой, -ин характерен для основ на -а/-я. Значит, в основе лежит либо разговорная форма крестильного имени, либо прозвище.

Самая вероятная версия: Финакин — от мужского имени Афиноген (др.-греч. «рождённый от Афины»). В просторечии это имя сокращали до Феня, Фина, Финак. Суффикс -ак (Финак) давал оттенок пренебрежения или, наоборот, фамильярности — так в быту называли человека, чтобы не произносить длинное полное имя. От формы Финак и пошёл Финакин. Подтверждение этой версии — фамилия Финагин, которая стоит в том же ряду (от Афиноген через Финя, Финага).

Вторая версия, менее распространённая, но не лишённая смысла: прозвище Финак могло произойти от глагола «финать» или «финить» — в некоторых говорах это означало «хитрить, лукавить, увёртываться». Финакой могли прозвать изворотливого, ловкого человека. Однако эта версия упирается в то, что сам глагол редкий и территориально ограниченный (в основном северо-западные говоры). Более того, в словарях русских говоров (например, у Даля) «финак» как самостоятельное слово не зафиксировано, поэтому опора на крестильное имя надёжнее.

Географически фамилия Финакин не привязана к одной области — она встречается и в центральных регионах, и в Поволжье, и на Урале. Это логично: имя Афиноген было распространено по всей России, особенно в крестьянской и купеческой среде. В дворянских родах его тоже использовали, но реже, поэтому Финакины — в основном потомки крестьян, мещан или духовенства (священники часто давали детям «редкие» греческие имена).

Интересная деталь: в старых документах фамилию могли писать через «о» — Фонакин. Это не ошибка, а следствие аканья: безударное «и» звучало как нечто среднее, и писцы на слух фиксировали «о». Поэтому, если встретите в метрической книге XIX века Фонакина, это, скорее всего, тот же самый род. Сейчас написание «Финакин» закрепилось как нормативное, но вариант с «о» — хорошая подсказка для тех, кто ищет предков в архивах.

Коротко: Финакин — отчество от просторечной формы имени Афиноген. Ваш предок, скорее всего, был Финаком — так в быту звали носителя этого имени.