Фамилия Фленина — женская форма, но её разумнее рассматривать через мужской вариант Фленин. В русской традиции фамилии на -ин обычно образовывали от основ, оканчивающихся на -а или -я: Флен(а) + ин. Значит, ядро фамилии — прозвище или имя Флена.

Самая вероятная версия: Флена — это просторечная, диалектная форма канонического имени Аполлинария (в просторечии Полина, Поля). Звуковой переход неочевиден, но в русских говорах встречались стяжения и перестановки: Аполлинария → Поллинария → Плёна → Флёна. Подтверждение этому — фамилия Фленин (и Фленина) фиксируется в основном в северных и центральных регионах России, где имя Аполлинарий и Аполлинария было распространено среди крестьян и духовенства. Второй, менее вероятный вариант: прозвище Флена могло возникнуть от глагола «фленуть» (ударить, хлестнуть) или диалектного «фленя» — вялый, медлительный человек. Но глагол редок, а прозвище от него не оставило следов в письменных источниках.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Фленин, то есть сын или потомок Флены. Такая модель типична для фамилий крестьян и мещан, которые закрепились в XV–XVII веках. Фамилия недворянская, без приставок и окончаний на -ский, что говорит о её простонародном происхождении.

Встречается фамилия редко. По данным переписей и телефонных справочников, основные очаги — Архангельская, Вологодская области и прилегающие территории. Это совпадает с ареалом бытования имени Аполлинарий в его народных формах. Если ваши предки оттуда, то, скорее всего, фамилия восходит к имени, а не к прозвищу.

Однокоренные фамилии — Флёнов, Фленин, Фленихин (с суффиксом -их- как указание на принадлежность к роду). Все они держатся на одной основе и не имеют отношения к слову «флен» как заимствованию из других языков — это чисто русская, диалектная история.