Фамилия Гаенков — хороший пример того, как при кажущейся простоте происхождение может упираться в тёмное место. На слух она естественно ложится в ряд отчеств на -ов: Гаенков — «сын Гаенка». Но вот от какого имени или прозвища образован этот Гаенок, однозначного ответа нет.

Самая прямая версия отсылает к крестильному имени Гай. Это сокращённая форма редкого православного имени Гайан (от греческого «гайос» — земной) или же латинского имени Гай (Гай Юлий Цезарь). В русской среде полное имя было редкостью, а вот уменьшительное Гай, Гайка встречалось. Суффикс -енок в основе Гаенок типичен для северных и центральных русских говоров и означал «малыш, сын»: Гаенок — сын Гая. Потом фамилия закрепилась в форме Гаенков.

Вторая версия — прозвищная. В южнорусских и украинских говорах «гай» — это лес, роща. «Гаенок» могло означать «лесной человек», живущий в гае, либо того, кто промышляет в лесу. Однако здесь есть фонетическая тонкость: в украинском языке слово «гай» дало бы форму Гаєнко, а не Гаенко, поэтому версия с «лесом» слабее, но совсем отбрасывать её нельзя, если фамилия бытовала на границе диалектов.

Третья, более спорная возможность — связь с тюркским именем Гай (Гайнулла, Гайнетдин), которое пришло через татар. В таком случае Гаенок — русифицированная форма, но массовых подтверждений этой версии нет, и она уступает первой по вероятности.

Географически фамилия Гаенков не привязана к одной области — она встречается разрозненно, что говорит скорее о случайном происхождении в разных местах. В XIX веке носители фамилии фиксировались в Курской, Орловской губерниях и на Дону. Сословно это были в основном крестьяне и мещане, никаких дворянских родов с такой фамилией не известно.

Таким образом, Гаенков — это, вероятнее всего, отчество от уменьшительного имени Гай (Гайан) с севернорусским суффиксом -енок. Прозвищная версия с «лесом» возможна, но менее обоснована. Фамилия редкая, без громких носителей, но с живой историей в русской ономастике.