Фамилия Гарабажиу — редкий случай в русском ономастиконе. Её окончание -у и корневая основа сразу выдают нерусское происхождение. Скорее всего, перед нами фамилия, сформировавшаяся в молдавской или румынской языковой среде, а затем попавшая в русский обиход через Бессарабию или Приднепровье.

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -иу (встречается в написании как -жиу) характерен для румынских фамилий, образованных от прозвищ или названий занятий. Основа «Гарабаж» почти наверняка восходит к румынскому слову «găraba» или «gărabă» — так в некоторых говорах называли повозку, телегу, а также возчика. Соответственно, «гэрэбажиу» (в румынском написании Gărăbajiu) — это человек, связанный с телегой: извозчик, возница, либо тот, кто делал телеги. Фамилия, таким образом, профессиональная, указывающая на ремесло предка.

Версия о тюркском корне (от «карабаш» — «черная голова» или «слуга») менее убедительна. Во-первых, окончание -иу для тюркских фамилий нехарактерно. Во-вторых, в румынском языке много слов тюркского происхождения, но они уже давно обрусели или орумынились, и фамилия Гарабажиу выглядит как закономерный румынский дериват от местного слова, а не прямое заимствование прозвища.

Географически фамилия привязана к территории исторической Бессарабии — современная Молдова, Одесская и Черновицкая области Украины. В России и других регионах бывшего СССР она встречается точечно, чаще всего у потомков переселенцев конца XIX — начала XX века. Сословно носители такой фамилии, скорее всего, относились к крестьянам или мещанам, поскольку ремесло извозчика или тележного мастера было делом простых людей.

В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Гарабажиу), и склоняется, если речь о женщине (Анны Гарабажиу). Ударение, судя по аналогичным румынским фамилиям, падает на последний слог — Гарабажи́у, хотя в бытовой русской речи можно услышать и варианты с ударением на второй слог.