Фамилия Гарькина — женская форма фамилии Гарькин, и её стоит разбирать через мужской вариант. Гарькин — это классическая «патронимическая» фамилия, образованная по модели «чьих?»: от имени или прозвища Гарька с помощью суффикса -ин. Такие фамилии в русской традиции означали принадлежность: Гарькин сын, то есть потомок человека по имени или прозвищу Гарька.

Что такое Гарька? Самая прямая версия — это производная форма от канонического имени Георгий. В народном произношении Георгий дал целый ряд уменьшительных вариантов: Егор, Гора, Гаря, Гарька. Смена «Ге-» на «Га-» и появление твёрдого «р» — обычное дело для живой речи в северных и центральных говорах. Если так, то предок носителя фамилии мог зваться Георгием, а в быту его кликали Гарькой.

Вторая версия, не менее правдоподобная, — прозвищная. Слово «гарь» в русских диалектах многозначно: это и выжженное место в лесу, и гарь, сажа, и даже запах горелого. Прозвище Гарька мог получить человек, живший на гари (на расчищенном огнём участке под пашню), либо тот, кто работал с огнём — углежог, кузнец, смолокур. Фамилии с корнем «гар-» (Гарев, Гарин, Гаряев) широко распространены именно в лесных и промысловых регионах, где выжигание угля и подсечное земледелие были обычным делом.

Суффикс -ин указывает на относительно раннюю модель образования фамилий, характерную для крестьянского и посадского населения. Фамилия Гарькина не дворянская и не искусственная, а бытовая — её дали по отцу или по прозвищу в среде, где не было сложных суффиксов вроде -ский. Встречается она в основном в центральной России и Поволжье, с заметной концентрацией в Пензенской, Нижегородской и Ульяновской областях.

Спор между версиями решается просто: обе версии рабочие, и они не исключают друг друга. В одном роду Гарькиных предок мог быть Георгием, в другом — жителем гари. Без генеалогического исследования конкретной семьи определить, какая из них верна, невозможно.