Фамилия Гаврюшин образована от производной формы крестильного имени Гавриил. В переводе с древнееврейского это имя означает «божественный воин», и за ним стоит архангел, один из самых почитаемых персонажей в христианстве. Однако в быту, вдали от церковной книжности, имя быстро обрастало уменьшительными формами: Гавря, Гаврик, Гаврюша. Последняя и легла в основу фамилии.

Гаврюшин — типичная «патронимическая» фамилия, то есть указывающая на отца. Суффикс -ин здесь работает по простой модели: чей? — Гаврюшин, то есть сын Гаврюши. В русской ономастике такой способ словообразования — один из самых распространённых, наряду с фамилиями на -ов/-ев. В данном случае основа оканчивается на -а, поэтому появляется именно -ин, а не -ов.

Интересно, что фамилия Гаврюшин встречается не повсеместно, а имеет заметную региональную привязку. Данные переписей и метрических книг XIX века показывают, что основная масса носителей сосредоточена в центральных и южнорусских губерниях: Тульской, Рязанской, Тамбовской, а также в бывшей Области Войска Донского. Это наводит на мысль, что в разных сёлах и станицах фамилия могла возникать независимо, просто по имени местного родоначальника.

По социальному составу Гаврюшины — в основном крестьяне и мещане. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что тоже характерно для патронимов от просторечных форм имён. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был государственным или помещичьим крестьянином, возможно, однодворцем на южных рубежах.

В написании фамилия устойчива — с буквой Ю в корне. Варианты вроде Гаврюшов или Гаврушин встречаются в документах, но это скорее ошибки писцов или местные диалектные особенности произношения. Современный орфографический стандарт закрепил форму через -ю- и -ин.