Фамилия Гайдашёвы происходит от прозвища Гайдаш. Словообразовательная модель проста: к основе Гайдаш- добавился типичный русский суффикс -ёв (орфографический вариант -ев после шипящих под ударением), указывающий на принадлежность — «сын Гайдаша». Суффикс -ёв, а не -ов, сразу выдаёт ударение на последний слог: Гайдашёв.

Что означало само прозвище — вопрос открытый, и тут есть несколько версий, разной степени убедительности. Самая прямая отсылка — к южнорусскому глаголу «гайдать», то есть «бегать, шататься, летать». Если так, то Гайдашом могли прозвать человека быстрого, непоседливого, расторопного — эта версия выглядит естественной для прозвища по характеру.

Вторая гипотеза связывает прозвище с глаголом «гойдать» — «колыхать, качать». Соблазнительно объяснить её походкой, но здесь есть фонетическая натяжка: переход «ой» в «ай» в корне нехарактерен для говоров, где бытовала фамилия. Скорее всего, это народная этимология, а не реальный источник.

Третья версия — украинское «гайдар» в значении «овцевод». Тут меняется не только смысл, но и конечный согласный: -р вместо -ш. Чтобы из «гайдара» получился «Гайдаш», нужно допустить дополнительное преобразование суффикса, что делает эту гипотезу наименее вероятной, хотя совсем отбрасывать её нельзя — в живой речи прозвища порой искажались.

Таким образом, наиболее правдоподобно, что предок носителей фамилии получил прозвище за резвость и подвижность. Фамилия фиксируется преимущественно в южнорусских и украинских регионах, что косвенно подтверждает связь с диалектным «гайдать». О точном времени её возникновения данных нет, но массовое закрепление таких патронимических фамилий у крестьян и мещан произошло в XVII–XIX веках.