Фамилия Гайдельшинова — редкая и неоднозначная по происхождению. Скорее всего, перед нами русская фамилия, образованная от тюркского или арабо-персидского имени с помощью русского суффикса принадлежности. Главная загадка здесь — основа «Гайдельшин».

Самый вероятный путь — от мужского имени Гайдельша (вариант — Гайдулла, Гайнулла). В основе лежат арабские корни «гайс» (войско) и «алла» (бог), то есть имя может означать «воин Аллаха» или «божье войско». Суффикс -ин в русской модели образования фамилий указывает на принадлежность: «чей?» — Гайдельшинов, то есть потомок человека по имени Гайдельша. Окончание -а — это уже женская форма (жена или дочь Гайдельшинова), которая в русской традиции закрепилась как неизменяемая фамилия для женщин.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским словом «гайды» (иди, уходи) или «гайда» (сброд, шайка). В таком случае прозвище Гайдельша могли дать непоседливому, бродячему человеку или, напротив, предводителю ватаги. Однако эта гипотеза слабее, так как суффикс -ша в тюркских именах чаще образует ласкательные или уменьшительные формы (сравните: Айша, Бибиша), а не прозвища от глаголов.

Географически фамилия тяготеет к регионам с татарским и башкирским населением — Башкортостан, Татарстан, Оренбуржье. Встречается также в смешанных русско-татарских семьях Поволжья. Фамилия не древняя: она сформировалась не раньше середины XIX века, когда у татар и башкир начали массово закрепляться наследственные фамилии по русскому образцу.

Интересная деталь: написание через «е» (Гайдельшинова) вместо более ожидаемого «Гайдуллинова» или «Гайнуллина» может говорить о местном диалектном произношении или ошибке писаря при записи. В некоторых переписях встречаются варианты «Гайдельшин», «Гайдельша» — это мужские формы, от которых и пошла женская. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крещёными татарами или башкирами, принявшими православие, либо мусульманами, у которых фамилию записали на русский лад.