Фамилия Гайке — нечастая в России, и её происхождение почти наверняка не славянское, а немецкое или еврейское. В русском языке она выглядит как застывшая основа без привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, что сразу говорит о её иноязычном корне. Если бы фамилия была исконно русской, она скорее звучала бы как Гайкин или Гайков.

Скорее всего, Гайке — это вариант немецкой фамилии Heicke или Heyke, которая, в свою очередь, образована от краткой формы имени Генрих (Heinrich). В немецкой ономастике суффикс -ke (или -cke) — уменьшительно-ласкательный, как в русском -енька или -очка. То есть Гайке могло означать «маленький Генрих» или просто «Геночка». Такие фамилии были особенно распространены в северной Германии, в землях Мекленбург и Шлезвиг-Гольштейн.

Вторая версия — еврейская. У ашкеназских евреев фамилия Гайке могла произойти от идишского имени Хаим (жизнь) через диалектные варианты произношения. В польских и литовских записях XIX века встречаются написания Hajke, Hайке, которые затем русифицировались в Гайке. Этот вариант менее вероятен, но полностью исключать его нельзя, особенно если носители фамилии происходят из западных губерний Российской империи.

В России фамилия Гайке встречается редко и локализована — чаще всего в Санкт-Петербурге и в Поволжье, где исторически селились немецкие колонисты. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в немецких общинах XVIII–XIX веков или, реже, в еврейских местечках. Однозначно сказать, кем были предки, без генеалогического поиска сложно, но по модели образования — это не прозвище и не профессия, а патроним, то есть имя, перешедшее в фамилию.