Фамилия Гайков — типичная русская фамилия, которая образовалась от прозвища Гайко с помощью патронимического суффикса -ов. Суффикс указывает на принадлежность: Гайков буквально означал «сын Гайка» или «человек из рода Гайка».

Само прозвище Гайко, скорее всего, восходит к западнославянскому слову «гай» — так называют небольшой лиственный лес, рощу. Поэтому первая и самая прямая версия: прозвище Гайко мог получить человек, живший в лесистой местности или у опушки. Такие «географические» прозвища были распространены повсеместно — они привязывали человека к месту жительства, не давая ему отдельного имени.

Но есть и вторая версия, не менее интересная. В русских диалектах бытовал глагол «гайкать» — кричать, шуметь, орать, перекликаться. От него легко могло образоваться прозвище для обладателя громкого, зычного голоса или для несдержанного, шумного человека. В пользу этой версии говорит то, что суффикс -ко в прозвищах часто придавал оттенок характерного действия или свойства (ср. Крикун — Кричко, Молчун — Молчко).

Интересно, что фамилия Гайков встречается не только в русской среде, но и у украинцев и белорусов, где слово «гай» ещё более употребительно. В этих языках «гай» — не просто лес, а именно чистый лиственный лес, часто берёзовый или дубовый. Поэтому у носителей фамилии из западных регионов связь с лесным прозвищем может быть даже более очевидной, чем у жителей центральной России.

Обе версии правдоподобны, и какая из них верна для конкретной семьи — зависит от того, в какой местности жили предки и каким характером они обладали. Скорее всего, разные ветви рода Гайковых получили свою фамилию независимо друг от друга: одни — от леса, другие — от голоса.