Фамилия Гайкович — типичная для западнославянского ареала, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ич указывает на отчество: в польском, белорусском, украинском и сербохорватском языках оно означало «сын такого-то». То есть Гайкович — это буквально «сын Гайко». Основа фамилии — прозвище Гайко, которое, скорее всего, восходит к слову «гай» — так в южных и западных славянских диалектах называют небольшой лиственный лес, рощу. Человек, живший в лесистой местности или около рощи, мог получить прозвище Гайко.

Есть и вторая версия, менее распространённая, но лингвистически обоснованная. В некоторых говорах бытовал глагол «гайкать» — кричать, шуметь, громко перекликаться. В таком случае Гайко — прозвище обладателя зычного голоса или несдержанного, шумного нрава. Слово «гайкать» до сих пор встречается в украинских и южнорусских говорах, что расширяет возможную географию фамилии.

Обе версии — лесная и «крикливая» — не противоречат друг другу: прозвище могло возникнуть независимо в разных местах по разным причинам. Но первая, от «гай» как леса, встречается чаще и подкрепляется целым гнездом родственных фамилий: Гай, Гаев, Гайко, Гайковский. Фамилия Гайкович — редкий случай, когда модель на -ич сохранилась не в сербской или польской, а в восточнославянской среде, что говорит о возможном западнорусском или белорусском происхождении носителей.

Что касается сословной принадлежности: фамилии на -ич в XVI–XVII веках на землях Великого княжества Литовского и Речи Посполитой носили не только шляхтичи, но и крестьяне, и мещане. Поэтому однозначно утверждать о дворянском происхождении Гайковичей нельзя — скорее всего, это просто отчество, закрепившееся за потомками одного человека по имени или прозвищу Гайко.