Фамилия Гиршая — редкий случай, когда мы почти наверняка знаем, что перед нами не русская фамилия, а прямой перенос иноязычного имени или прозвища. В русской традиции фамилии на -ая обычно образуются от прилагательных (Добрый → Добрая) или указывают на принадлежность к месту (Московский → Московская). Но Гиршая не вписывается ни в одну из этих моделей: в основе лежит корень, который не склоняется по русским грамматическим законам.

Скорее всего, перед нами фамилия еврейского происхождения. Она образована от мужского личного имени Гирш (идиш: הירש, «олень»). В ашкеназской традиции это имя было чрезвычайно популярно — оно входило в библейскую параллель: колено Нафтали в благословении Иакова сравнивается с оленем. Окончание -ая в данном случае не русский суффикс, а русифицированная передача окончания, характерная для фамилий, которые записывали в метрических книгах на территории Российской империи. Часто такие фамилии фиксировались в форме «Гирш» или «Гирша», но вариант «Гиршая» мог закрепиться при адаптации в славянской среде: окончание -ая воспринималось как типичное для фамилий женского рода, но закрепилось за всей семьёй.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с тюркскими языками. В некоторых тюркских наречиях слово «гыр» или «гырша» могло означать «кривой», «изогнутый» или относиться к местности (овраг, ложбина). Однако в таком случае фамилия должна была бы встречаться среди татар или башкир, а массовых данных об этом нет. Кроме того, для тюркских фамилий в русской записи типичны окончания -ов/-ев, а не -ая.

Таким образом, основная гипотеза: предки носителя фамилии Гиршая были евреями-ашкеназами, жившими на территории черты оседлости (современные Украина, Беларусь, Польша, Молдова). Имя Гирш давалось мальчику, а при переходе к фамилиям в XIX веке (после рескрипта 1804 года и обязательного присвоения фамилий еврейскому населению) оно либо осталось без изменений, либо было записано писцом с характерным для русской речи окончанием. Носители фамилии могли быть ремесленниками, торговцами или арендаторами — сословная принадлежность у еврейских фамилий этого типа не прослеживается, так как имя не указывает на профессию.

В современной России фамилия крайне редка. Встречается в основном в записях XIX — начала XX века по юго-западным губерниям. Поиск по базам данных показывает единичные случаи в Киевской и Подольской губерниях. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать метрические книги в архивах Украины и Беларуси — именно там, скорее всего, сохранились следы.