Фамилия Горбаеь — редкий и, скорее всего, искажённый на письме вариант. В русской ономастике нет устоявшейся фамилии с таким окончанием. С высокой вероятностью перед нами опечатка или диалектное написание фамилии Горбачёв или Горбаев.

Если отталкиваться от наиболее правдоподобной версии — фамилии Горбачёв, — то её основа ясна: прозвище Горбач. В старину горбачом называли не только человека с физическим недостатком — горбом, но и сутулого, сгорбленного человека, а также, по данным словаря В. Даля, того, кто «ходит горбясь» или «горбит спину» от работы. Суффикс -ёв (фонетический вариант -ов) указывает на принадлежность: «сын Горбача». Модель образования типична для русских фамилий второй половины XVI–XVII веков.

Менее вероятный, но возможный случай — фамилия Горбаев. Здесь основа — прозвище Горбай (от «горбатый»), а суффикс -ев присоединялся к основам на мягкий согласный или -й. Такая фамилия фиксируется в южнорусских и украинских говорах, где слово «горбай» могло означать не только горбуна, но и пройдоху, изворотливого человека (в переносном смысле).

Окончание -еь вместо -ев или -ёв — явная ошибка переписчика или заявителя в документах XIX–XX веков. В метрических книгах и ревизских сказках неграмотные крестьяне или писари могли записать фамилию на слух, не зная точного написания. Так Горбачёв мог превратиться в Горбачов, а затем в Горбаеь. Встречается и обратный процесс: фамилия Горбаев в диалектах могла звучать как «Горбай», и при записи букву «й» путали с «ь».

Социально фамилия, скорее всего, крестьянская или мещанская. В дворянских родословных книгах ни Горбачёвы, ни Горбаевы не числятся среди столбовых родов. Если ваши предки носили именно написание «Горбаеь», имеет смысл искать их в документах конца XIX — начала XX века, где допускались грубые орфографические ошибки, и проверять оба варианта — Горбачёв и Горбаев.