Фамилия Горбатыий — редкий случай, когда написание выдаёт неграмотность или намеренное искажение при записи. В ней два суффикса: сначала -ат-, образующий прилагательное со значением «имеющий горб» (горбатый), а затем -ий — стандартное фамильное окончание, как у притяжательных прилагательных. Однако нормативная русская фамилия от того же корня пишется через «о»: Горбатый. Вариант с двумя «и» подряд (Горбат-ы-ий) — это либо описка писаря, либо диалектное произношение, где конечный гласный растягивали, либо сознательная попытка «облагородить» фамилию, сделав её похожей на дворянские окончания (-ский, -цкий). В Ономастиконе Веселовского и словаре Унбегауна такая форма не фиксируется как историческая — это скорее бытовое искажение XIX–начала XX века.

Основа прозвища Горбатый прозрачна: так называли человека с заметным физическим недостатком — горбом на спине или груди. В крестьянской среде, где фамилии часто давали по внешним признакам, это было точное и необидное описание, а не оскорбление. Прозвище могло закрепиться за одним человеком, а затем перейти к его детям и внукам уже как наследственная фамилия. Никакой связи с ремеслом или местностью здесь нет — чистая антропометрическая характеристика.

С точки зрения географии, фамилия Горбатый (и её искажённые варианты) встречается в основном в центральных и южных областях России: Тульская, Рязанская, Воронежская, а также на Украине. Форма Горбатыий — единичная, и найти её можно разве что в метрических книгах начала XX века, где писарь механически дописал окончание по аналогии с другими фамилиями. Если вы носите именно такой вариант, скорее всего, это случайность при регистрации, которую потом не исправили.

С социальной точки зрения, носители фамилии Горбатый никогда не принадлежали к высшему сословию: это крестьянская или мещанская фамилия, образованная от бытового прозвища. Дворянских родов с таким корнем нет — слишком приземлённая основа. В советское время фамилия не менялась, хотя люди с физическими недостатками нередко пытались сменить её на более благозвучную, но массового исчезновения не произошло.

Итог прост: Горбатыий — это орфографический дубль фамилии Горбатый, а не самостоятельная форма. Предки ваши наверняка были крестьянами, получившими прозвище по заметной особенности внешности. Фамилия редкая, но корень у неё самый прямой и понятный из всех возможных.