Фамилия Горьковнко — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено. В русских и украинских фамилиях нет суффикса -внк-, а есть -енк- или -овн- (как в отчествах). Скорее всего, перед вами фамилия Горьковенко, записанная с опечаткой или переосмысленная на слух. Если же это не ошибка, то перед нами искусственное или канцелярское образование, что маловероятно.

Исходная форма — Горьковенко — строится по классической украинской модели: основа + суффикс -енко (уменьшительно-патронимический, «сын кого-то»). Основа — Горьк(о)в-, то есть отчество от прозвища или фамилии Горький. В ономастике слово «горький» имело не только вкусовое значение, но и переносное: «несчастный, бедовый, горемыка». Такое прозвище давали человеку с тяжёлой судьбой или мрачным характером. В документах XVI–XVII веков встречаются прозвища Горькой, Горький — их фиксирует, например, словарь С. Веселовского «Ономастикон».

Таким образом, Горьковенко — «сын Горького» или «потомок того, кого звали Горький». Носитель фамилии, скорее всего, происходил с территории современной Украины или юга России, где суффикс -енко был основным маркером родства. В силу редкости и необычного написания фамилия могла подвергаться переделке при переписях: чиновник мог записать её на слух как «Горьковнко», спутав с отчеством на -овна.

Других версий, объясняющих корень «горьковн», в ономастике нет — это явно искажение. Если ваша фамилия именно Горьковнко, стоит проверить архивные записи: в метрических книгах или ревизских сказках она, вероятно, будет значиться как Горьковенко или Горьков.