Фамилия Горшантова — женская форма, а мужская, Горшантов, образована с помощью патронимического суффикса -ов. В основе лежит прозвище или неканоническое имя Горшант. Это редкий случай: суффикс -ант в русских фамилиях встречается нечасто и обычно указывает на иноязычное влияние, но здесь всё проще. Скорее всего, Горшант — это производное от слова «горшок» с помощью уменьшительно-пренебрежительного суффикса -ант (по аналогии с «старикант», «толстянт»). Так могли прозвать гончара, того, кто делал горшки, или, напротив, человека маленького роста, круглого и приземистого — «горшок» в переносном смысле.

Версия с заимствованием из тюркских языков маловероятна: в тюркских основах на -ант обычно не встречается, а корень «горш» явно славянский. Сравните с фамилиями Горшков, Горшечников — они образованы от того же ремесла, но по другой модели. Горшантов стоит особняком: суффикс -ант придаёт основе грубоватый, просторечный оттенок. В документах XVII–XVIII веков такие прозвища фиксировали за крестьянами и посадскими людьми — дворяне предпочитали более благозвучные формы на -ский.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским областям, особенно к Рязанской и Тамбовской губерниям, где гончарный промысел был массовым. Встречается и вариант Горшенков — с суффиксом -енк, типичным для украинской традиции, но Горшантов остаётся именно русской формой, редкой и нестандартной. Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка происходил из среды ремесленников или крестьян, а прозвище Горшант могло быть дано за характерную внешность или занятие.