Фамилия Горячёи встречается редко и почти сразу привлекает внимание своим окончанием. В русской фамильной системе суффикс -ых (а в данном случае — -ёи, где «ё» под ударением, а на конце стоит «и», а не «й») указывает на северорусскую или сибирскую традицию. Такие фамилии отвечали на вопрос «чьи?» и закреплялись за целой семьёй или домом: Горячёи — значит «из семьи Горячего». В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев или -ин, модель на -их/-ых не склоняется и сохраняет форму множественного числа. Это сразу выдаёт географию: такие фамилии типичны для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и для старообрядческих поселений Зауралья.

Основа фамилии — прозвище Горячий. В старину так могли назвать человека вспыльчивого, с крутым нравом, или, наоборот, того, кто торопился, был нетерпелив в делах. Иногда «горячим» называли мастера, работавшего с огнём — кузнеца, плавильщика, стеклодува. В этом случае прозвище становилось профессиональным. Встречается и бытовая версия: «горячий» — тот, кто пьёт горячее вино или хлебное вино «с пылу», то есть неразбавленное, что тоже могло стать отличительной чертой.

Ударение в фамилии падает на последний слог — Горячёи, с чётким «ё». В письменных источниках XIX — начала XX века можно встретить варианты Горячих, Горячии, но форма с «ё» и окончанием «-ёи» — более архаичная и редкая. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из северных или сибирских деревень, где сохранялась старая модель именования по дому. Переход от прозвища к фамилии, вероятно, произошёл в конце XVII — начале XVIII века, когда крестьянские фамилии начали фиксироваться в переписных книгах.

Сравнение с однокоренными фамилиями помогает понять контекст. Горячев — самая распространённая форма, её носители встречаются по всей России. Горячих — вариант с тем же суффиксом, но с другим окончанием (на -их). Горячёи — ещё более узкая, локальная разновидность, которая могла закрепиться в одной-двух волостях. Встречаемость её крайне низкая, и это делает фамилию ценной для генеалогического поиска: она сразу сужает круг возможных мест происхождения предков.