Фамилия Горяж — редкая и неочевидная. Если не знать диалектов, её можно принять за искажённое «горазд» («умелый») или «горячий». Но корень здесь другой, и он ведёт скорее к прозвищу, чем к имени или профессии.

Словообразовательная модель проста: основа «Горяж-» и нулевое окончание. Это типичная «прозвищная» фамилия, образованная без суффикса, напрямую от личного прозвища. В русских говорах зафиксирован глагол «горяжиться» — горячиться, сердиться, спорить. От него и пошло прозвище Горяж — человек вспыльчивый, неуступчивый, тот, кто «горячится» по любому поводу. Сравните с однокоренными фамилиями: Горячев, Горячкин, Горяинов. У них общий смысловой стержень — характер, а не ремесло.

Менее вероятна, но возможна связь с диалектным словом «горяж» в значении «горемыка, бедолага». В некоторых областях так называли человека, которому постоянно не везёт, — от «горе» и «горевать». Но эта версия слабее: в говорах такое значение не закрепилось широко, а глагол «горяжиться» встречается чаще и даёт более естественную мотивацию для прозвища.

География фамилии узкая. Горяжи встречаются в основном в центральных и северных областях России — в Костромской, Вологодской, Ярославской. Там же бытуют и говоры с глаголом «горяжиться». Это косвенно подтверждает, что фамилия не пришлая, а местная, крестьянская по происхождению.

Фамилия не получила дворянского или купеческого распространения. В дореволюционных списках она почти не фигурирует. Это значит, что предки носителей Горяж — скорее всего, крестьяне или посадские люди, получившие прозвище по черте характера и передавшие его детям без изменений. Суффикс отсутствует, что типично для ранних, ещё не оформившихся фамилий: в XVI–XVII веках так могли записать человека просто по уличному прозвищу.