Фамилия Гожая — редкий случай, когда основу можно разобрать двумя почти равноправными способами, и оба ведут в прошлое русского Севера и запада страны.

Самый прямой путь — от прилагательного «гожий», то есть «годный, пригодный, хороший, красивый, статный». В северных и сибирских говорах слово «гожая» (девица, работница, вещь) означало «ладная, подходящая, видная». Фамилию могли дать в виде прозвища — Гожий, а для женщины Гожая — либо как «хорошая, добротная», либо с иронией, в обратном смысле. Прозвища по внешности или характеру — один из древнейших пластов русских фамилий, и здесь он очевиден.

Но есть и второй корень, который не стоит сбрасывать со счетов. В западных и юго-западных русских землях (Брянщина, Смоленщина, а также Беларусь и Украина) слово «гожа» или «гожый» могло быть вариантом «гоже» — «похожий, сходный». В старых польских и литовских метриках фамилии Гожий, Гожая встречаются как указание на сходство с кем-то: «похожий на отца» или «такой же, как тот». Эта версия менее популярна в справочниках, но географически подтверждена: большинство носителей фамилии Гожая в современных российских архивах — из Псковской, Новгородской и Тверской областей, то есть из зоны древнего новгородского и псковского влияния, где «гожий» в значении «годный» было нормой.

Морфологически фамилия стоит особняком: окончание -ая указывает на женскую форму, но в русской традиции фамилии на -ой/-ая (Толстой, Гожая) — это застывшая форма полного прилагательного, которая не меняется по родам. То есть Гожая — фамилия и для мужчины, и для женщины, хотя на слух воспринимается как женская. Это характерно для небольшой группы фамилий, образованных от прилагательных без суффикса -ов/-ин.

Сравните с однокоренными: Гожин (от «Гожа» как краткой формы имени Гожа), Гожев (от прозвища Гож) — они встречаются чаще, но именно форма Гожая сохранила архаичную грамматику и прямую связь с качественным прилагательным. Если ваши предки — из-под Пскова или Новгорода, скорее всего, фамилия закрепилась за крестьянином или ремесленником, которого в округе звали «гожий» — то есть справный, работящий, подходящий к делу. Никакой знатной истории, зато живая черта из быта XVI–XVII веков.