Фамилия Григора — одна из тех, где ударение сразу выдаёт нерусское происхождение. В русских фамилиях ударение обычно падает на суффикс (-ов, -ин, -ский) или на окончание, а здесь оно, скорее всего, на второй слог: Григо́ра. Это указывает на украинские, белорусские или польские корни. Основа фамилии — каноническое имя Григорий (от греч. «бодрствующий»), но не в полной, а в усечённой народной форме Григора. Такая форма характерна для западнорусских земель, где имена часто сокращали, отбрасывая концовку: Григора вместо Григорий, Данила вместо Даниил.

С точки зрения словообразования, фамилия Григора — это так называемая «патронимическая» или «посессивная» форма, но без привычного суффикса. В украинской и белорусской традиции фамилии нередко оставляли в виде чистой основы имени: Григора означало «сын Григоры» или просто «человек из рода Григоры». В польском языке похожая модель — фамилии вроде Grzegorza (от Grzegorz, то есть Григорий). Суффикс -а здесь может быть как окончанием родительного падежа, так и показателем женского рода в некоторых говорах, но для фамилии мужского рода это просто застывшая форма.

Есть и менее распространённая версия, что фамилия могла произойти от прозвища Григора, данного человеку с громким, «гремящим» голосом или суетливым характером — от глагола «григотать» (в некоторых диалектах — шуметь, греметь). Однако эта гипотеза слабая, так как глагол редкий и локальный, а связь с именем Григорий лежит на поверхности и подтверждается массой аналогичных фамилий: Григоренко, Григорьев, Григораш.

Географически фамилия Григора встречается в основном на западе Украины (Львовская, Тернопольская области), в Беларуси (особенно в Гродненской и Брестской) и в восточной Польше. В России она редка и чаще всего фиксируется среди потомков переселенцев с этих территорий. Социальный состав носителей в прошлом — преимущественно крестьяне и мещане, так как фамилия не получила дворянского суффикса и осталась в простонародной среде. В документах XVII–XVIII веков её можно встретить в реестрах казаков и списках униатских приходов.

Однокоренные фамилии — Григораш, Григорук, Григорович — образованы от той же основы, но с разными суффиксами, что меняло их звучание и региональную привязку. Григора стоит особняком: она короче, архаичнее и оттого звучит как прямое обращение к предку, без лишних формальностей.