Фамилия Гулявцев — одна из тех, где суффикс подсказывает историю точнее, чем корень. Она образована по модели на -ев, а не на -ов, а это значит, что в основе лежит слово или имя, оканчивающееся на мягкий согласный или на -й. В данном случае — прозвище Гулявец.

Сам корень гуля- сразу отсылает к глаголу «гулять». Но в русских говорах и в древнерусском языке у этого слова был более широкий спектр значений: не только «праздно проводить время», но и «свободно передвигаться», «бродить», «быть неженатым», «находиться на воле». Прозвище Гулявец могли дать человеку, который часто менял место жительства, не имел оседлости, либо тому, кто вёл разгульный образ жизни. Однако в крестьянской среде прозвище редко было откровенно осуждающим: скорее, оно описывало конкретную черту — непоседливость, склонность к странствиям или холостяцкий статус.

Модель с суффиксом -ец (Гуляв-ец) интересна тем, что она могла обозначать жителя определённой местности или выходца из неё. Теоретически существовал населённый пункт Гуляево, Гуляевка или урочище Гулявец — и тогда прозвище означало «пришедший оттуда». Но более вероятно, что суффикс -ец здесь имеет уменьшительно-характеризующее значение: Гулявец — «тот, кто гуляет», «гуляка» (сравните: удалец, хитрец, мудрец). Фамилия закрепилась в форме родительного падежа: Гулявцев — «чей?» — «сын Гулявца».

С географической точки зрения фамилия редкая, не входит в сотни самых распространённых. Основные очаги — юг России и Поволжье, особенно Волгоградская и Ростовская области. Встречается также в казачьих регионах, что косвенно подтверждает связь прозвища с вольным, подвижным образом жизни.

Словообразовательный анализ показывает, что фамилия не могла возникнуть от имени Гуляй (как Гуляев), а только от прозвища на -ец. Это отличает её от более частых однокоренных фамилий — Гуляев, Гуляйкин, Гулящихин. Если ваш предок носил фамилию Гулявцев, скорее всего, он был либо человеком неоседлым, либо получил прозвище за характер — и это прозвище оказалось настолько метким, что пережило века.