Фамилия Инюгин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с особенностями речи. Её ядро — слово «инюга» (или «иняга»), которое в русских говорах, особенно северных и сибирских, означало заику или человека, который говорит невнятно, «мямлит». Корень тот же, что и в диалектном глаголе «инять» — тянуть слова, запинаться. Соответственно, предок носителя фамилии получил прозвище Инюга по характерной манере речи.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Инюгин буквально означает «сын Инюги» или «человек из рода Инюги». Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ и личных имён, оканчивающихся на -а/-я. Фамилия довольно редкая, и её географическое распространение подтверждает диалектную природу: чаще всего Инюгины встречаются в Архангельской области, а также в соседних Вологодской и Кировской — как раз там, где слово «инюга» было в ходу.

Менее вероятная, но допустимая версия связывает фамилию с каноническим именем Иоанн (Иван) через его уменьшительную форму Иня. В этом случае Инюга — вариант того же корня, и фамилия означала бы «потомок Ини». Однако против этой гипотезы говорит то, что от Ивана образовано множество фамилий (Иванов, Ивин, Инин, Иняков), а Инюгин стоит особняком и плотно привязан к северным говорам, где «иняга» — именно заика. Поэтому прозвищное происхождение убедительнее.

В дореволюционных источниках Инюгины фигурируют в основном как крестьяне и мещане северных губерний. Никаких выдающихся исторических деятелей с этой фамилией не зафиксировано — она осталась в своей среде, бытовой и местной. По написанию фамилию иногда путают с более частыми Инягин или Инюшин, но корень у них разный.