Фамилия Инюшкина — женская форма фамилии Инюшкин, а та, в свою очередь, образована от мужского имени или прозвища Инюшка. Разберём её по косточкам, отбросив шаблонные схемы.

Корень «Инюш-» — это уменьшительно-ласкательная форма от имени Иннокентий. В русской народной традиции полные церковные имена часто сокращали до коротких и удобных в быту вариантов: Иннокентий превращался в Иню, Инюшу, Инюшку. Суффикс «-к-» в основе указывает на ласкательное обращение, а фамильный суффикс «-ин» — на принадлежность: «сын Инюшки» или «из семьи Инюшкиных».

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с прилагательным «иной» (другой, чужой). В этом случае Инюшкой могли прозвать пришлого человека, не местного. Однако такое прозвище было бы скорее исключением, чем правилом: в русской ономастике «иной» редко становилось основой для фамилий, в отличие от календарных имён.

Фамилия Инюшкин (и Инюшкина) — не массовая, но и не редкая. Она встречается в центральных регионах России, особенно в Поволжье и на юге (например, в Пензенской, Саратовской, Волгоградской областях). Это указывает на то, что предки носителей фамилии были, скорее всего, крестьянами или мещанами — в дворянских родословных книгах она не фиксируется.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий XVI–XVII веков: от имени или прозвища на «-ка» (Инюшка) путём прибавления притяжательного суффикса «-ин». Аналогично образованы фамилии Петрушкин, Ванечкин, Гришкин. Если ваш предок носил имя Инюшка, это не значит, что он был маленьким или слабым — так просто называли Иннокентия в быту.

Главное, что стоит запомнить: Инюшкина — это «дочь или жена Инюшки», а сам Инюшка — почти наверняка Иннокентий.