Фамилия Ивакаев — редкий пример, когда в основе лежит не полное, а краткое, бытовое имя, причём с необычным суффиксом. Разберём её по частям.

Корень здесь — «Ивак». Это не что иное, как уменьшительная форма от канонического имени Иван. В русской народной традиции Ивана могли называть Иваш, Иванко, Ваня, но форма «Ивак» встречается реже. Она образована с помощью суффикса -ак-, который в древнерусском языке часто придавал имени оттенок просторечия или принадлежности к простонародной среде (сравните: Гаврила — Гавряк, Петр — Петрак). Таким образом, Ивак — это «маленький Иван» или, скорее, «Иван, свой, из своих».

Далее к основе «Ивак» добавился тюркский по происхождению суффикс -аев. Это типичный патронимический формант для многих народов Поволжья и Урала (татар, башкир, чувашей). Он означает «сын такого-то»: Ивакаев буквально — «сын Ивака». Сочетание славянского имени с тюркским суффиксом — не редкость в регионах, где русские и тюркские народы веками жили бок о бок. Фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар, чувашей или мордвы, где имя Иван было распространено через православие, а фамилию оформляли по местной модели.

Встречается Ивакаев преимущественно в Оренбургской области, Башкортостане и Татарстане. Так что предки носителя этой фамилии, скорее всего, были крестьянами или казаками из смешанных этнических групп, а саму фамилию дали по деду или отцу, которого в быту звали просто Ивак.